Önce bütün denklemleri yazıp sonra etrafını doldurmak daha kolay olabilirdi. Tam tersini yaptım: Metni silip içindeki denklemleri düzenledim. Sadece 6 adet ‘$$’ var, biri hariç hepsi matrix kullanıyor.
Sonuç şöyle yazılınca hem sağlaması daha kolay olur, hem de genel formülün özel hali olarak okunabilir: \(\begin{matrix} v'_1 = v_1 + m_2 k \Delta v, \quad v'_2 = v_2 − m_1 k \Delta v \\[8px] k = 2/(m_1 + m_2), \quad \Delta v = (v_2 − v_1) \end{matrix}\)
İzdüşüm hesabı lineer cebirin en temel konularından biridir: \(\mathbf{a_x} = \frac {\langle\mathbf{a}, \mathbf{x}\rangle}{\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle} \mathbf{x} \quad \textit{projection of } \mathbf{a} \textit{ on } \mathbf{x}\) Çarpışma problemine uygulayınca, iki topun hız farkının $\Delta \mathbf{x}$ üstüne izdüşümünden şu sonuca varılır: \(\begin{matrix} \mathbf{v}'_1 = \mathbf{v}_1 + P \Delta \mathbf{x}, \quad \mathbf{v}'_2 = \mathbf{v}_2 − P \Delta \mathbf{x} \\[8px] P = \frac {\langle\Delta \mathbf{v}, \Delta \mathbf{x}\rangle} {\langle\Delta \mathbf{x}, \Delta \mathbf{x}\rangle} = \langle\Delta \mathbf{v}, \Delta \mathbf{x}\rangle / \lVert \Delta \mathbf{x}\rVert^2 \\[8px] \Delta \mathbf{v} = (\mathbf{v}_2 − \mathbf{v}_1), \quad \Delta \mathbf{x} = (\mathbf{x}_2 − \mathbf{x}_1) \end{matrix}\)
Enerji hesabı için hız vektörlerinin uzunluğu gerekiyor: \(\begin{matrix} \lVert \mathbf{v}'_1\rVert^2 = \lVert \mathbf{v}_1\rVert^2 + 2P \langle \mathbf{v}_1, \Delta \mathbf{x}\rangle + P^2 \lVert \Delta\mathbf{x}\rVert^2 \\[8px] \lVert \mathbf{v}'_2\rVert^2 = \lVert \mathbf{v}_2\rVert^2 - 2P \langle \mathbf{v}_2, \Delta \mathbf{x}\rangle + P^2 \lVert \Delta\mathbf{x}\rVert^2 \end{matrix}\)
Karmaşık görünen bu çözüm şöyle yazılınca epeyce basitleşir: \(\begin{matrix} \mathbf{v}'_1 = \mathbf{v}_1 + m_2 k P \Delta \mathbf{x} \\[8px] \mathbf{v}'_2 = \mathbf{v}_2 − m_1 k P \Delta \mathbf{x} \\[8px] k = 2/(m_1 + m_2), \quad P = \langle\Delta \mathbf{v}, \Delta \mathbf{x}\rangle / \lVert \Delta \mathbf{x}\rVert^2 \\[8px] \Delta \mathbf{v} = (\mathbf{v}_2 − \mathbf{v}_1), \quad \Delta \mathbf{x} = (\mathbf{x}_2 − \mathbf{x}_1) \end{matrix}\)
Bu genel çözümün iki farklı özel halini yukarıda incelemiştik: \(\begin{matrix} \textit{Tek boyut} & \textit{Eşit kütleler} \\ v'_1 = v_1 + m_2 k \Delta v & \mathbf{v}'_1 = \mathbf{v}_1 + P \Delta \mathbf{x} \\ v'_2 = v_2 − m_1 k \Delta v & \mathbf{v}'_2 = \mathbf{v}_2 − P \Delta \mathbf{x} \\[10px] k = 2/(m_1 + m_2) & \quad P = \langle\Delta \mathbf{v}, \Delta \mathbf{x}\rangle / \lVert \Delta \mathbf{x}\rVert^2 \end{matrix}\)
https://matemacik.blogspot.com/2020/06/carpsan-toplar.html TeX https://matemacik.blogspot.com/p/carpsan-toplar.html Düz metin